Содержание

Часть I. Основы линейной алгебры

Введение. Основные определения

ЛЕКЦИЯ № 1. Простейшие случаи. Решение систем
1. Простейшие случаи. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (способ подстановки и способ сложения или вычитания)
2. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
3. Эквивалентность линейных систем, элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду (метод Гаусса)
4. Совместность и определенность линейных систем

ЛЕКЦИЯ № 2. Матрицы
1. Матрицы. Основные определения
2. Линейные действия над матрицами
3. Умножение матриц
4. Многочлены от матриц, линейные комбинации матриц, комплексные матрицы
5. Свойства транспонированных матриц
6. Определители второго и третьего порядка. Их свойства
7. Минор. Алгебраическое дополнение
8. Определитель n-го порядка
9. Обратная матрица. Присоединенная матрица. Вырожденная матрица
10. Ранг матрицы

ЛЕКЦИЯ № 3. Линейные системы. Решение линейных систем
1. Системы линейных уравнений (матричная запись)
2. Решение линейных систем n уравнений с n неизвестными с помощью определителей. Теорема Крамера
3. Исследование систем m линейных уравнений с n неизвестными

ЛЕКЦИЯ № 4. Линейные пространства
1. Линейные (арифметические) пространства и подпространства
2. Линейные комбинации. Линейная зависимость
3. Базис, разложение вектора по базису. Размерность. Изоморфизм
4. Матрица системы векторов линейного пространства. Преобразование координат при изменении базиса

ЛЕКЦИЯ № 5. Линейное преобразование
1. Линейное преобразование (отображение)
2. Характеристическое уравнение и собственный вектор линейного преобразования
3. Диагональный вид матрицы линейного преобразования
4. Действия над линейными преобразованиями
5. Ортогональные матрицы

Часть II. Приложения линейной алгебры

ЛЕКЦИЯ № 6. Квадратичные формы
1. Квадратичные формы
2. Закон инерции квадратичных форм
3. Знакоопределенные квадратичные формы
4. Упрощение уравнений второго порядка с помощью квадратичных форм

ЛЕКЦИЯ № 7. Группы и подгруппы
1. Группы и подгруппы (определения)
2. Циклические группы. Симметрические группы
3. Морфизмы групп
4. Разложение группы по подгруппе

ЛЕКЦИЯ № 8. Кольца и поля
1. Кольца
2. Поле. Модуль

ЛЕКЦИЯ № 9. Функции от матриц. Жордановы цепочки
1. Аннулирующие многочлены
2. Корневые подпространства
3. Жордановы цепочки. Теорема Жордана. Жорданова матрица
4. Функции от матриц
5. Матричные функции скалярного аргумента

ЛЕКЦИЯ № 10. Норма
1. Нормированные пространства. Норма
2. Нормы матриц

ЛЕКЦИЯ № 11. Численные методы
1. Численные методы. Введение
2. Метод Гаусса
3. LU&разложение
4. Выбор главного элемента. Масштабирование
5. Разложение на ортогональный и треугольный множители (QR-разложение)
6. Итерационные методы решения линейных систем. Метод простой итерации
7. Метод Зейделя. Метод верхней релаксации

ЛЕКЦИЯ № 12. Псевдорешения и псевдообратные матрицы
1. Псевдорешения
2. Псевдообратные матрицы
3. Метод наименьших квадратов

ЛЕКЦИЯ № 13. Системы линейных неравенств
1. Однородные системы линейных неравенств
2. Неоднородная система линейных неравенств

Литература